MATEMATICAS

PROBLEMAS DE EJERCICIOS DE ANGULOS DE POLIGONOS.

lugares geometricos relacionados con la circunferencia.

Lugar Geometrico llamado Circunferencia. Conoce su ecuación

Un Lugar Geométrico se define como la figura formada por los puntos del plano que cumplen con una condición. Esta condición que debe cumplir todo punto del plano se expresa mediante una ecuación, todo punto que pertenezca al lugar geométrico satisface a la ecuación, es decir que cuando se sustituye los valores de la variable “x” y el valor de la variable “y” se cumple la igualdad.

Un Lugar Geométrico puede estar definido por una ecuación general o una ecuación canónica, la difrencia de los diversos términos y coeficientes de la ecuación definen diversos lugares geométricos, por ejemplo: plano, recta, circunferecia, parábola, elipse, hipérbola.

Para definir una circunferencia los puntos debe cumplir con la condición de “Equidistar de un punto fijo” al cual se le llama Centro. Todo punto que pertenezca a un circunferencia tiene igual distancia entre él y el punto fijo, esa distancia es conocida como el Radio. Al calcular la distancia entre puntos se obtiene la ecuación de la circunferencia.

Entonces la ecuación Canónica de una Circunferencia cuando el centro está en cualquier parte del plano C(Xo,Yo)es:

Cuando se desarrolla la ecuación canónica, que esta formada por dos productos notables y se agrupan términos semejantes se obtiene la Ecuación General del Lugar Geométrico.

TEOREMAS DE ANGULOS DENTRO Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA.

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
expresión

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
expresión

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
expresión

EJERCICIOS DE ÁNGULOS DENTRO Y FUERA DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Donde:
δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vértice y el otro que es una cuerda.

γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.

β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.

Ángulo central o del centro en la circunferencia

El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.

En la figura a la derecha, vemos que el ángulo del centro dibujado, con vértice en O, abarca o subtiende el arco FG.

Al respecto, debemos reiterar que “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca”.

En la misma figura de la derecha se dibujó un ángulo inscrito (α = 37,3º) que subtiende o abarca el mismo arco que el ángulo del centro (γ = 74,6º); en dicha situación (y los valores indicados lo confirman), “Cuando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el del centro”.

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 06_2005

Pregunta 10_2005

Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales:

uno cóncavo (α = 130,68º) y

uno convexo (β = 229,32º) ,

o los dos iguales, que sumarán 360º.

Los ángulos inscritos (γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º.

Ángulo semiinscrito en la circunferencia

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º) vale la mitad que el ángulo del centro (α = 135º) que abarca el arco AB.

Nótese que en la figura están dados los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ángulo central así:

,

por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).

Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:

El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) = 112,5º) abarca el otro arco definido por AB.

Ángulo interior en la circunferencia

El ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior , siendo δ y ε los ángulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno AGD:

el ángulo, pues es el ángulo inscrito que abarca el arco AC;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco DB;
entonces el ángulo , por lo tanto,

TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES.

Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene queΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a,

si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b

si c = 4 y p = 1

Teorema de Euclides relativo a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.

Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a:

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto, si h² = p • q